齿轮的受力

齿轮副在传动动力时, 齿轮上产生作用力。在图12.1所示的正交座标系中, 如果设Ｚ轴为齿轮轴的话, X 轴方向的作用力为切向力(圆周方向) Ft (N)、 Y 轴方向的作用力为径向力(半径方向) Fr (N)、 Z 轴方向的作用力为轴向力 Fx (N) 或称为推力(N)。这些作用力对决定齿轮的形状、轴、轴承的尺寸是非常重要的。

表12.1 中示意了各种齿轮轮齿受力的计算关系式。转矩 T 及 T1 的单位是 N・m 。

图12.1 轮齿的受力示意图 表12.1 齿轮的作用力计算关系式一览表

齿轮的种类		F_t ：切向力	F_x ：轴向力	F_r ：径向力
正齿轮		F_t = 2000T / d		F_t tan α
斜齿齿轮			F_t tan β
直齿锥齿轮		F_t = 2000T / d_m 其中 d_m 是中央分度圆直径 d_m = d − b sin δ	F_t tan α sin δ	F_t tan α sin δ
弧齿锥齿轮			凸齿面为工作面时:

			凹齿面为工作面时:

蜗杆蜗轮	蜗杆（驱动）	F_t1 = 2000T₁ / d₁
	蜗轮（被动）		F_t1
交错轴斜齿齿轮	驱动齿轮	F_t1 = 2000T₁ / d₁
	被动齿轮		F_t1

12.1 平行轴齿轮

图12.2 是斜齿齿轮轮齿受力示意图。
螺旋角越大, 推力(轴向力) 也越大。在正齿轮的情况下, 不产生轴向力。

驱动齿轮为右旋小齿轮
被动齿轮为左旋大齿轮

驱动齿轮为左旋小齿轮
被动齿轮为右旋大齿轮

图12.2 斜齿齿轮的旋转方向与轮齿受力 表12.2 计算例（正齿轮）

№	规格	代号	单位	计算公式	正齿轮
№	规格	代号	单位	计算公式	小齿轮	大齿轮
1	模数	m	mm	设定值	2
2	法向压力角	α_n	度		20°
3	齿数	z	—		20	40
4	螺旋角	β	度		0
5	输入转矩	T₁	N·m		2	—
6	分度圆直径	d	mm	zm	40	80
7	切向力	F_t	N	2000T / d	100.0
8	轴向力	F_x		—	0
9	径向力	F_r		F_t tan α	36.4
10	输出转矩	T₂	N·m	F_t d₂ / 2000	—	4

12.2 相交轴齿轮

轴交角 Σ ＝ 90°的直齿锥齿轮啮合时, 作用于驱动齿轮的轴向力 Fx1 和作用于被动齿轮的径向力 Fr2 相同。
同样, 作用于驱动齿轮的径向力 Fr1 和被动齿轮的轴向力 Fx2 也相同。

（1）直齿锥齿轮

直齿锥齿轮的轮齿受力如图12.3 所示。

驱动齿轮为小齿轮
被动齿轮为大齿轮

图12.3 直齿锥齿轮的旋转方向与轮齿受力

（2）弧齿锥齿轮

弧齿锥齿轮, 有凸齿面及凹齿面, 工作面不同, 轮齿所受的作用力也不同。齿轮的螺旋方向、旋转方向及啮合齿面之间的关系如表12.5 所示。
弧齿锥齿轮的轮齿受力如图12.5 所示。弧齿锥齿轮的轴向力Fx 会出现负值, 此时, 齿轮在相互接近方向受力。
需要设计能够承受负值轴向力的轴承。轴向的间隙过大时, 可能造成无齿隙啮合状态。

表12.3 计算例（斜齿齿轮）

№	规格	代号	单位	计算公式	正齿轮
№	规格	代号	单位	计算公式	小齿轮	大齿轮
1	端面模数	m_t	mm	设定值	2
2	端面压力角	α_t	度		20°
3	齿数	z	—		20	40
4	螺旋角	β	度		21.5°
5	输入转矩	T₁	N·m		2	—
6	法向压力角	α_n	度	tan^-1(tan α_t cos β)	18.70838°
7	分度圆直径	d	mm	zm_t	40	80
8	切向力	F_t	N	2000T / d	100.0
9	轴向力	F_x		F_t tan β	39.4
10	径向力	F_r			36.4
11	输出转矩	T₂	N·m	F_t d₂ / 2000	—	4

表12.4 计算例（直齿锥齿轮）

№	规格	代号	单位	计算公式	直齿锥齿轮
№	规格	代号	单位	计算公式	小齿轮	大齿轮
1	轴交角	Σ	度	设定值	90°
2	模数	m_t	mm		2
3	压力角	α	度		20°
4	齿数	z	—		20	40
5	螺旋角	β	度		0°
6	齿宽	b	mm		15
7	输入转矩	T₁	N·m		1.6646	—
8	分度圆直径	d	mm	zm	40	80
9	分度圆锥角	δ₁•δ₂	度		26.56505	63.43495
10	中央分度圆直径	d_m	mm	d − b sin δ	33.292	66.584
11	切向力	F_t	N	2000T / d_m	100.0
12	轴向力	F_x		F_t tan α sin δ	16.3	32.6
13	径向力	F_t		F_t tan α cos δ	32.6	16.3
14	输出转矩	T₂	N·m	F_t d_m2 / 2000	—	3.329

图12.4 弧齿锥齿轮的凸齿面和凹齿面 表12.5 啮合齿面一览表

驱动齿轮			被动齿轮
螺旋方向	旋转方向	啮合齿面	啮合齿面	旋转方向	螺旋方向
L	CW	凹	凸	CCW	R
L	CCW	凸	凹	CW	R
R	CW	凸	凹	CCW	L
R	CCW	凹	凸	CW	L

Σ = 90°、α_n = 20°、β_m = 35°、z₂ /z₁ < 1.57357

驱动齿轮左旋齿小齿轮
被动齿轮右旋齿大齿轮

驱动齿轮右旋齿小齿轮
被动齿轮左旋齿大齿轮

Σ = 90°、α_n = 20°、β_m = 35°、z₂ /z₁ ≥ 1.57357

驱动齿轮左旋齿小齿轮
被动齿轮右旋齿大齿轮

驱动齿轮右旋齿小齿轮
被动齿轮左旋齿大齿轮

图12.5 弧齿锥齿轮的旋转方向与轮齿的受力 表12.6 计算例（弧齿锥齿轮）

№	规格	代号	单位	计算公式		弧齿锥齿轮
№	规格	代号	单位	计算公式		小齿轮	大齿轮
1	轴交角	Σ	度	设定值		90°
2	端面模数	m_t	mm			2
3	法向压力角	α_n	度			20°
4	齿数	z	—			20	40
5	螺旋角	β	度			35°
6	齿宽	b	mm			15
7	输入转矩	T₁	N·m			1.6646	—
8	分度圆直径	d	mm	zm		40	80
9	分度圆锥角	δ₁•δ₂	度		Σ − δ₁	26.56505	63.43495
10	中央分度圆直径	d_m	mm	d − b sin δ		33.292	66.584
11	切向力	F_t	N	2000T / d_m		100.0
				啮合齿面		凸齿面	凹齿面
12	轴向力	F_x	N			– 42.8	71.1
13	径向力	F_r	N			71.1	– 42.8
				啮合齿面		凹齿面	凸齿面
14	轴向力	F_x	N			82.5	8.4
15	轴向力	F_r	N			8.4	82.5
16	输出转矩	T₂	N·m	—		—	3.329

12.3 交错轴齿轮

（1）蜗杆蜗轮

图12.6 示意了轴交角 Σ ＝ 90°的蜗杆副中, 轮齿的受力方向。因为蜗杆蜗轮的动力传动大部分为滑动接触,所以齿面的摩擦系数对传动效率 ηR 及齿轮的受力有很大的影响。

右旋蜗杆蜗轮

驱动齿轮为蜗杆
被动齿轮为蜗轮

左旋蜗杆蜗轮

驱动齿轮为蜗杆
被动齿轮为蜗轮

图12.6 蜗杆蜗轮的旋转方向及轮齿受力 表12.7 计算例（蜗杆蜗轮）

№	规格	代号	单位	计算公式		蜗杆蜗轮
№	规格	代号	单位	计算公式		蜗杆	蜗轮
1	轴交角	Σ	度	设定值		90°
2	轴向/端面模数	m_x • m_t	mm			2
3	法向压力角	α_n	度			20°
4	齿数	z	—			1	20
5	分度圆直径（蜗杆）	d₁	mm			31	—
6	摩擦系数	μ	—			0.05
7	输入转矩	T₁	N·m			1.550	—
8	分度圆直径（蜗轮）	d₂	mm	—	z₂ m_t	—	40
9	导程角	γ	度			3.69139°
10	切向力	F_t1•F_t2	N	2000T₁ / d₁		100.0	846.5
11	轴向力	F_x			F_t1	846.5	100.0
12	径向力	F_r				309.8
13	效率	η_R	—			0.546
14	输出转矩	T₂	N·m	—	F_t2 d₂ / 2000	—	16.930

（2）交错轴斜齿轮

基本上与蜗杆蜗轮的思考方法相同。
图12.7 示意了轴交角 Σ ＝ 90°, 圆螺旋角为 β ＝ 45 度的交错轴斜齿轮轮齿受力情况。

右旋齿交错轴斜齿轮

小齿轮驱动
大齿轮被动

左旋齿交错轴斜齿轮

小齿轮驱动
大齿轮被动

图12.7 交错轴斜齿轮的旋转方向及轮齿受力 表12.8 计算例（交错轴斜齿轮）

№	规格	代号	单位	计算公式		交错轴斜齿轮
№	规格	代号	单位	计算公式		小齿轮	大齿轮
1	轴交角	Σ	度	设定值		90°
2	法向模数	m_n	mm			2
3	法向压力角	α_n	度			20°
4	齿数	z	—			13	13
5	螺旋角	β	度			45°
6	摩擦系数	μ	—			0.05
7	输入转矩	T₁	N·m			1.838	—
8	分度圆直径	d	mm	zm_n / cos β		36.770	36.770
9	切向力	F_t1•F_t2	N	2000T₁ / d₁		100.0	89.9
10	轴向力	F_x			F_t1	89.9	100.0
11	径向力	F_r				48.9
12	效率	η	—	T₂ z₁ / T₁ z₂		0.899
13	输出转矩	T₂	N·m	—	F_t2d_{2 / 2000}	—	1.653